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Solución a “Suma Manhattan”

Concurso: Preselectivo para la IOI 2015, Etapa 1, Problemset 1
Autor: Freddy Román Cepeda
Fuente: Freddy Román Cepeda

Este problema requería manipular con cuidado la expresión que había que computar.
Recordemos que nos piden computar

\sum_{0 \leq i < j < N} manhattan(S_i,S_j).

Para resolver la primer subtarea bastaba con iterar sobre todas las parejas de puntos y calcular su distancia. Esto corre en tiempo cuadrático y no es suficiente para obtener todos los puntos.

La siguiente subtarea era una pista: se puede computar la distancia Manhattan de dos puntos considerando por separado sus coordenadas en x y y. Ahora nos preocuparemos por calcular la siguiente expresión:

\sum_{0 \leq i < j < N} |a_i - a_j|.

Donde a son las coordenadas en x o y. El problema está en el valor absoluto. La manera más sencilla de deshacernos de él es ordenar la secuencia a, de tal manera que a_i \leq a_j. Entonces tenemos:

\sum_{0 \leq i < j < N} |a_i - a_j| = \sum_{0 \leq i < j < N} |a_j - a_i| = \sum_{0 \leq i < j < N} a_j - a_i.

La primer igualdad es verdadera porque |x| = |-x| para cualquier x. La segunda es porque como ahora a está ordenado, como a_j \geq a_i \implies a_j - a_i \geq 0, el valor absoluto no hace nada.

Podemos entonces separar la suma en dos términos:

\sum_{0 \leq i < j < N} a_j - \sum_{0 \leq i < j < N} a_i.

Analicemos el primer término. Estamos sumando sobre todas las j tantas veces haya una i menor que ella. Eso quiere decir que cada a_j la vamos a sumar j veces (nota que a_0 la sumamos 0 veces).

El segundo término nos dice que sumaremos todas las a_i tantas veces haya una j mayor a ella. Eso quiere decir que cada a_i la vamos a sumar N-i-1 veces (nota que a_{N-1} la sumamos 0 veces).

Juntando esas ideas, entonces tenemos:

\sum_{j = 0}^{N-1} j \cdot a_j - \sum_{i = 0}^{N-1} (N - i - 1) \cdot a_i

= \sum_{i = 0}^{N-1} i \cdot a_i - \sum_{i = 0}^{N-1} (N - i - 1) \cdot a_i.

= \sum_{i = 0}^{N-1} (i - (N - i - 1)) \cdot a_i.

= \sum_{i = 0}^{N-1} (2i - N + 1) \cdot a_i.

Y con eso terminamos: ahora tenemos una expresión que podemos computar fácilmente en tiempo lineal. Hay que tener cuidado al computar esto: La primera observación es que hay que estar tomando módulo después de cada operación porque en cualquier momento puede haber un overflow. Algunos competidores obtuvieron 60 puntos en este problema por no tomar esto en cuenta. La segunda observación es que el término (2i - N + 1) \cdot a_i no necesariamente cabe en un entero signado de 32 bits — hacía falta utilizar enteros de 64 bits para realizar este cálculo.

Aquí está mi código que implementa la solución anterior.